O objetivo deste artigoédesvendar, através de gráficos comparativos entre duas turmas, a importância da Lógica como base de estudo para a Matemáticano processo de ensino-aprendizagem em sala de aula, a fim de desenvolver umaprática inovadora de ensino. A pesquisa envolveu as turmas do 1º ano A e B do ensino médio do Centro Territorial de Educação Profissional da Bacia do Paramirim, na cidade de Macaúbas - Bahia - Brasil. Os resultados obtidos revelam um novo modelo didático de ensino com ênfase na teoria da Lógica para o entendimento dos teoremas, axiomas, corolários e proposições matemáticas, bem como identificam a sua importância e mostram que está diretamente ligada a todos os conteúdos Matemáticos. Por fim, após coletar os dados e analisá-los, pode-se recomendar que o professor utilize esta metodologiainovadoranosprocessos de desenvolvimento do ensino da matemática, baseada nos conceitos da Lógica.

Este artigo mostra, através de gráficos comparativos entre duas turmas, a importância da Lógica como base de estudo para a Matemática no processo de ensino-aprendizagem em sala de aula. Esta pesquisa se deu a partir das deficiências dos alunos no entendimento dos conteúdos matemáticos. A cada aula, percebia-se que eles não compreendiam os teoremas, os axiomas, corolários e as proposições matemáticas. Houve a necessidade de incluir os conceitos da Lógica para que o entendimento dos conteúdos fosse alcançado.

O objetivo deste artigo é desvendar, através de gráficos comparativos entre duas turmas, a importância da Lógica como base de estudo para a Matemática no processo de ensino-aprendizagem em sala de aula.Afinalidade desse comparativo entre as duas turmas foi verificar o nível de desenvolvimento da turma A em relação à turma B.

A justificativa é que: o conhecimento evolui progressivamente, por meio de estruturas de raciocínio que substituem umas às outras, através de estágios (Piaget, 1975). Isto significa que a lógica e as formas de pensar de uma criança são completamente diferentes da lógica dos adultos. Em sua Teoria, Piaget identifica os estágios de desenvolvimento da criança, sendo que, o ensino da lógica deve ser tratado nas primeiras fases da aprendizagem, principalmente, ao iniciar o ensino médio, onde os alunos devam aprender a desenvolver o raciocínio lógico para auxiliar na resolução de problemas; afim de que se tenha um maior incremento dos conteúdos matemáticos.

A motivação do autor para escrever esse artigo foi porque, praticamente, não se encontrar o conteúdo de Lógica nos livros didáticos atuais como base para o estudo da Matemática. Daí, a importância do resultado dessa pesquisa para que se tenha um apoio nesse sentido e, consequentemente, a efetiva aplicação dessa ferramenta.

O ensino da lógica faz com que o pensamento matemático se desenvolva de maneira correta a fim de chegar a conhecimentos válidos. O aprendizado da lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos e os prepara para o entendimento do conteúdo de temas mais avançados (Abar, 2006). É comum encontrar alunos universitários com dificuldades para interpretar o que estão lendo, por não terem sido alfabetizados para entender o que está “por trás” daquilo que está escrito, ou seja, o real significado e contexto (Rauber et al., 2003).

Este conteúdo da matemática é muito teórico, daí o desinteresse dos professores de matemática em trabalhá-lo, pois a grande maioria dos Matemáticos gosta de trabalhar a parte prática da matemática. Neste sentido, o ensino da matemática deixa a desejar. A partir de agora, será apresentado o conteúdo da Lógica aplicado no 1º Ano, Turma A.

Algumas Definições:

Frase, expressão que encerra um sentido geral.

Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um dos dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

Somente, as sentenças declarativas podem atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. Quando uma proposição é verdadeira, atribui-se o valor lógico V; quando ela é falsa, atribui-se o valor lógico F. Nota-se que não se pode atribuir valores de verdadeiro ou falso às outras formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas.

Alguns exemplos de Proposições:

Alguns exemplos de sentenças que não são proposições (sentenças abertas):

Uma proposição é dita proposição simples ou operando quando apresenta apenas uma idéia.

Alguns exemplos:

Uma proposição é composta quando caracterizada por apresentar mais de uma proposição ligadas pelos conectivos lógicos.

Exemplo:

Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligadas de modo a criar novas proposições.

Exemplo:

O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.

Exemplo:

Conjunção: (˄)

Representação: (A ˄ B ). Lê-se: “A e B”. Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”.

Exemplos

A conjunção é verdadeira, se e somente se, os operandos são verdadeiros.

Disjunção:(˅)

Representação: (A˅B). Lê-se“A ou B”. Denomina-se disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”.

Exemplo:

A disjunção é falsa, se e somente se, ambos os operandos forem falsos.

Disjunção exclusiva: ( ˅ )

Representação: (A˅B). Lê-se: “ou A ou B”. Denomina-se disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer em que cada uma delas esteja precedida pelo conectivo “ou”.

Exemplo:

Dadas as proposições simples:

A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro.

Implicação (Condicional):(→)

Representação: (A→B). Lê-se: “Se A, então B”. Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se..., então”.

Exemplo:

A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando éverdadeiro e o segundo operando é falso.

Dupla Implicação (Bi condicional): (↔)

Representação (A↔B). Lê-se: “A, se e somente se, B”. Denominamos bi condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”.

Exemplo:

A bi condicional é verdadeira se, e somente se, os operandos têm o mesmo valor lógico.

Negação:(~)

Representação: (~A). Lê-se: “Não A”. Uma proposição é a negação de outra quando: se uma for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a outra é, obrigatoriamente, verdadeira.

Modos de Negação de uma Proposição Simples

Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo.

Exemplo:

Retirando-se a negação antes do verbo.

Exemplo:

Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos.

Exemplo:

Observa-se que “A casa é branca” contradiz, mas não é a negação de “A casa é preta”, porque a negação de “A casa não é branca” não, necessariamente, significa dizer que a cor da casa seja preta. Poderia ser de qualquer outra cor.

Uma proposição composta é uma tautologia se ela for sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Alguns exemplos

Uma proposição composta é uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente, dos valores lógicos das proposições que as compõem.

Exemplo

Nota-se que a negação de uma tautologia é sempre uma contradição.A negação de uma contradição é sempre uma tautologia.

Equivalência:( ⟺ )

São proposições cujos valores lógicos são idênticos, independente dos valores dos operandos.Uma consequência prática da equivalência lógica é que, ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, é como se estivesse apenas mudando a maneira de dizê-la.É importante lembrar que não se deve confundir o símbolo( ⟺ ) da equivalênciade proposições com o símbolo( ↔ )da bi condicional.

Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... ,Pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual se chama de Conclusão.

Denomina-se Premissa a cada uma das proposições que serve de base para a conclusão. Quando se fala em premissas, não se deve discutir sua verdade ou falsidade, e nem se verificar a qual conclusão pode-se chegar através delas.

Argumento estruturado com três premissas. A primeira premissa denomina-se premissa maior, a segunda, premissa menor e a terceira, conclusão.

Exemplo

Diz-se que um argumento é válido ou, ainda, que ele é legítimo ou bem construído quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas; em outras palavras, quando um argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento.Isso significa que jamais se pode ter uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido.

É importante observar que o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão somente a validade destes. Desse modo, ao se discutir a validade de um argumento, o valor de verdade de cada uma de suas premissas é irrelevante.

Exemplo

Esse silogismo está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a verdade das premissas seja questionável.

Diz-se que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal construído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Exemplo

É um argumento inválido, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Observa-se que Antônio pode ter sido aprovado sem ser aluno do curso. (A primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso foram aprovados). Nota-se que, geralmente, os problemas de silogismos apresentam expressões como “Todos”, “Algum”, “Nenhum”. Muitos desses problemas são resolvidos mais facilmente com base na Teoria de Conjuntos e utilizando-se os Diagramas de conjuntos.

Denomina-se Proposição Categórica a toda premissa que apresenta uma das seguintes estruturas:

Denomina-se tabela-verdade a um tipo de matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula éválida. Uma tabela verdade consiste em uma linha em que estão contidastodasassubfórmulas de uma fórmula.

Exemplo:

Usando a Tabela-Verdade e obtendo uma Tautologia, prova-se a sua equivalência. Veja:

Observe que, independente, dos valores lógicos de p e q as tabelas verdades de ~ ( p ˄ q ) e ( ~p ˅ ~q) são idênticas. Veja as colunas 6 e 7 da tabela-verdade acima. Ao fazer a bi condicional entre elas, obten-se a tautologia, como mostra a coluna 8. Neste caso, prova-se a sua equivalência.

Algumas equivalências importantes:

As expressões “Qualquer que seja”, “existe”, “para todo”, “algum”, “nenhum”... são chamadas de quantificadores.

Exemplo:

P(x): x + 1 ( 3.

A partir desta sentença podemos formar as seguintes proposições:

Existe x pertencente aos números inteiros; x + 1 ( 3. ( Verdade )

Para todo x pertencente aos números inteiros; x + 1 ≠ 3. (Falso).

Em ambos os casos, para x = 2, mostra a veracidade das respostas acima.

Os símbolos ∋ e ∀ têm uns significados bastante usados no dia-a-dia, mas, muitas vezes, as pessoas não se dão conta. Veja:

A negação do “Para todo” é “Existe” e vice versa. Neste caso, a negação da proposição com quantificadores, troca-se os quantificadores e muda a sentença.

Simbolicamente:

Exemplos:

Nota-se que a negação de uma sentença verdadeira, torna-se falsa e a negação de uma sentença falsa, torna-se verdade.

Como já foi dito, o estudo da Lógica foi trabalhado apenas no 1º ano do ensino médio do CETEP/BP, turma A. Enquanto a turma B estava tendo a revisão do ensino fundamental de acordo com a ementa feita pelo OCEM. Ao término do conteúdo de Lógica na turma A e a revisão na turma B, o professor iniciou o conteúdo do ensino médio sugerido pelo OCEM em ambas as turmas. Os conteúdos trabalhados de agora em diantesãocomuns as duas turmas. São eles: Conjuntos Numéricos, Conjuntos e Funções. O ano letivo é dividido em três unidades. Naprimeiraunidade, trabalhou-se com Conjuntos Numéricos, que sãocoleções de números que possuem características semelhantes. Exemplo: Conjunto dos Números Naturais, quesurgiu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, seus elementos são apenas os números inteiros e não negativos. Sua representação é dada por

Na segunda unidade, o conteúdotrabalhadofoi Conjuntos, conteúdo que dá suporte aos Conjuntos Numéricos, como exemplo o Diagrama de Venn. Na teoria de conjuntos, as relações entre os Conjuntos Numéricos podem ser representadas da seguinte maneira:

Por fim, na Terceira Unidade, trabalhou-se com Funções, conteúdo este que se trata de uma regra, onde se relaciona cada elemento de um conjunto (representado pela variável x) a um único elemento de outro conjunto (representado pela variável y). Ou seja, para cada valor de x, pode-se determinar um único valor de y, neste caso, diz-se então que “y está em função de x”. Exemplo:

Ao final de cada unidade, foi feita uma avaliação idêntica em cada unidade nas duas turmas. A evolução da Turma A em relação à Turma B será mostrada, conforme a Análise dos Dados a seguir.

A pesquisa envolveu as turmas do 1º ano A e B do ensino médio do Centro Territorial de Educação Profissional da Bacia do Paramirim (CETEP/BP), na cidade de Macaúbas - Bahia - Brasil. A metodologia utilizada foi uma pesquisa quantitativa com análise e ênfase para seus aspectos analíticos e críticos através das avaliações nas turmas A e B do 1º ano do ensino médio do CETEP/BP.A investigação é quantitativa e apresenta como objetivos a identificação e apresentação de dados, indicadores e tendências observáveis. Este tipo de investigação se mostra geralmente apropriado quando existe a possibilidade de recolha de medidas quantificáveis de variáveis e inferências a partir de amostras de uma população.O Método apresentado na experiência foi o estudo Longitudinal. O local da pesquisa foi nas salas de aula nº 5 e 7do CETEPBP, que é uma escola pública situada no centro da cidade de Macaúbas - Bahia - Brasil. Neste colégio, estudam aproximadamente 1500 alunos. Os recursos didáticos disponíveis eram quadros, projetores e computadores. A investigação foi centrada nas turmas supracitadas, que é composta por 32 alunos na Turma A e 30 Alunos na Turma B, com idade entre 15 a 19 anos. De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM), a Lógica não faz parte dos conteúdos matemáticos. No sentido de confrontar essa decisão, o autor decidiu comparar as duas turmas. No 1º ano ensino médio A, aplicou-se o conteúdo de Lógica, antes de introduzir os conteúdos da OCEM; no 1º ano ensino médio B, trabalhou-se seguindo as normas da escola, sem ver o conteúdo de Lógica, porém foi feita uma revisão do ensino fundamental, conforme sugere as Orientações Curriculares. Ao final de cada unidade, foram feitas duas avaliações idênticas, no mesmo horário, com o mesmo suporte; uma na turma A e outra na Turma B. Como as turmas A e B tinham números distintos de alunos, ou seja, 32 alunos na turma A e 30 alunos na Turma B, além de ser observada a distribuição das notas, também foram obtidas médias aritméticas das notas das duas turmas conforme gráficos, representados nas figuras de 03 a 10 na seção Resultados e Discussões.

Nesta Análise de Dados, apresentam-se os gráficos das notas das duas turmas durante o ano letivo de 2019. Na primeira unidade, o conteúdo trabalhado nas duas turmas foi Conjuntos Numéricos; após concluí-lo, aplicou-se uma avaliação idêntica em cada turma. Assim procedeu com os demais conteúdos durante todo o ano letivo, sempre comparando as suas notas. Na segunda unidade, o conteúdo foi Conjuntos e, por fim, na terceira unidade, o conteúdo matemático foi Funções. Nas figuras de números 03 a 08, observa-se a frequência das notas dos alunos por unidade.

Abaixo, tem-se a Figura 9, representando o gráfico comparativo entre as duas turmas. O primeiro ano A está representado pelas colunas vermelhas, enquanto a turma B está representada pelas colunas azuis. Nele, observa-se a distribuição do somatório das notas das três unidades (Conjuntos Numéricos, Conjuntos e Funções) de cada turma por classes de notas. Vale ressaltar que o total de cada turma, neste gráfico, chegará a 300%, pois é a soma percentual das três unidades. Isso não tem relevância, pois o cálculo da média será feito posteriormente na figura 10. Analisando o gráfico, observa-se que a Turma A obteve os seguintes resultados: de 0,0 a 3,0, 0% dos alunos; de 3,1 a 4,0, 5% dos alunos; de 4,1 a 5,0, 15% dos alunos; de 5,1 a 6,0, 40% dos alunos; de 6,1 a 7,0, 75% dos alunos; de 7,1 a 8,0, 85% dos alunos; de 8,1 a 9,0, 50% dos alunos; de 9,1 a 10,0, 30% dos alunos.Já a turma B obteve: de 0,0 a 1,0, 3% dos alunos; de 1,1 a 2,0, de 2,1 a 3,0, 10% dos alunos; 17% dos alunos; de 3,1 a 4,0, 34% dos alunos; de 4,1 a 5,0, 70% dos alunos; de 5,1 a 6,0, 96% dos alunos; de 6,1 a 7,0, 40% dos alunos; de 7,1 a 8,0, 25% dos alunos; de 8,1 a 9,0, 5% dos alunos; de 9,1 a 10,0, 0% dos alunos.

Abaixo, tem-se a Figura 10, representando o gráfico comparativo entre as turmas A e B. Analogamente à figura anterior, o primeiro ano A está representado pelas colunas vermelhas, enquanto a turma B está representada pelas colunas azuis. Nele, observa-se a distribuição das médias ponderadas das notas das três unidades de cada turma por classes de notas. A fórmula da média ponderada usada é:

Observe que fi, com ivariando de 1 a 10 se refere às freqüências percentuais das classes das notas e que os valores 0,5; 1,5; 2,5; ... ; 9,5 são as médias das classes das notas, respectivamente, de 0,0 a 1,0; 1,0 a 2,0; 2,0 a 3,0; ... ; 9,0 a 10,0. Neste caso, tem-se:

A média da turma A é:

Usando números decimais e aproximando os valores:

A média da turma B é:

Usando números decimais e aproximando os valores:

Após a aplicação das três avaliações em cada turma sobre os conteúdos matemáticos trabalhados no ano letivo de 2019; os resultados estão representados pelos gráficos acima. Durante as aulas, o professor já havia percebido uma grande diferença na assimilação dos conteúdos;precisou usar um instrumento que medisse essa absorção dos conteúdos. Observa-se que a média das notas dos alunos da Turma A foi 7,13 numa escala de zero a dez, enquanto a média das notas dos alunos da turma B foi 5,04, o que confirma a necessidade de incluir a Lógica nos conteúdos de Matemática, como base na aprendizagem. Na medida em que o estudante adquire mais experiência da lógica, mais fatos lógicos serão considerados triviais por ele e maior será sua competência na lógica (Besson,2010). Nesse sentido, conhecer a lógica não deve se limitar à função de preservar a verdade e deduzir argumentos, mas elaborar o maior número possível de transformações (Corcoran, 1999).

Percebeu-se que, no decorrer desta pesquisa, a utilização da Lógica é um grande diferencial no entendimento dos conteúdos matemáticos, pois ela está implicitamente ligada a todos os conteúdos matemáticos, ajudando assim na aprendizagem. Também mostrou outro lado da matemática, que muitas vezes é desfavorecida por profissionais talvez sem preparação, não permitindo os estudantes presenciar os benefícios que nela existe. Os professores precisam demonstrar mais disposições em aplicar o uso da Lógica no ensino da matemática, pois utilizando esta ferramenta possibilita que as aulas de matemática se tornem mais interessantes.

Através da observação e durante as aulas de Lógica na Turma A, conseguiu-se detectar que os alunos desta Turma tiveram maisfacilidade em entender alguns conceitos matemáticos; diferentemente, da Turma B, pois, naquele momento, eles deixam transparecer suas reais dificuldades.

De acordo com o resultado obtido no último gráfico, representado pela figura 10, houve uma grande diferença nas notas da turma A em relação à turma B. Esseresultado revela a importância de aplicar a teoria da Lógica para o entendimento dos teoremas, axiomas, corolários e proposições matemáticas, bem como identificam a sua importância e mostram que está diretamente ligada a todos os conteúdos Matemáticos.

Esta pesquisa foi de grande importância, devido ao problema que se tem na aprendizagem da matemática. O objetivo aqui foimostrar que a Lógica é, de fato, um conteúdo que deve ser usado como base para o entendimento da Matemática, consequentemente, incentivando os alunos a participarem mais das suas aulas. Percebeu-se que o alcance de resultados, submetidos a diversos recursos educacionais, inspeção e avaliação, os atuais educadores se encontram no centro de uma verdadeira encruzilhada: por um lado, cabe-lhes preservar os princípios educacionais inerentes à sua condição de educadores; por outro lado, são coagidos externamente a incorporar um perfil de professor obediente ao sistema, progressivamente, mais tecnocrático ao serviço dos valores da competitividade, do desempenho e dos resultados.Por fim, após coletar os dados e analisá-los, recomenda-se que o professor utilize esta importante ferramenta como base de estudo para Matemática.

Como um trabalho futuro, aLógica deve ser aplicada nos estudos iniciais da matemática, como forma de fortalecer a base do conteúdo matemático para o seu desenvolvimento de maneira mais eficaz.